作者：范洪义(中国科学技术大学)
本文选自《物理》年第11期
摘要量子的引入最先是普朗克在年为理论“凑合”黑体辐射实验曲线的无奈之举(曲线拟合)，然此举如招幡令旗，呼风唤雨，聚溪成流，乘奔御风，浩浩汤汤，终成今日量子流行的漫山遍野之势，是几个能人的集灵思积广益而相辅相成，还是时势造英雄，还是两者兼而有之！普朗克以能量分离的观点看待微观世界，是他在理论推导拟合实验结果逐渐形成的信仰。物理学家狄拉克指出，伟大的物理学家如牛顿和爱因斯坦是靠基本信仰“从上到下”推导出一些大自然的定律的。狄拉克自己的信仰是相信方程的美有时比实验结果更重要，因为实验会有误差。量子的时髦，自然引来众说纷纭，惟在量子园地里“种过树”的人才可能有较深刻的体会。
作者历经50多年的理论探索，首创了有序算符内的积分理论，对发展量子力学数理基础——狄拉克的符号法略有建树，既能抑制爱因斯坦认为量子力学数学不够完美的抱怨，为爱因斯坦的量子纠缠思想提供纠缠态表象，也从数学上将量子力学几率假说落实到有序算符的正态分布，从而推陈出新、别开生面地丰富量子力学、量子统计力学和量子光学的内容。
关键词狄拉克的信仰，量子力学符号法，有序算符内的积分理论
01量子力学诞生的背景我们先简要回顾一下继普朗克提出量子概念以后的几件大事，再引出量子力学的语言——狄拉克符号。
科学从某种意义上来说是为了改善人们的思考方式。量子力学普朗克常数的发现要求我们在发射和吸收光时要以能量分离的观点看待微观世界，这已经是金科玉律了[1]。在此基础上，玻尔提出了原子结构模型的两个假定：
(1)一个原子系统可以永久处于一系列分立的“定态”轨道中的一条而不发生辐射。每一条轨道有确定的轨道角动量；
(2)两个定态之间的跃迁发射或吸收光子。
玻尔将库仑定理和牛顿力学结合解释了氢原子谱线稳定轨道。他提出角动量量子化条件：，(m代表振子质量)。按照这一模型，电子环绕原子核作轨道运动，外层轨道比内层轨道可以容纳更多的电子；较外层轨道的电子数决定了元素的化学性质。如果外层轨道的电子落入内层轨道，将释放出一个带固定能量的光子。此观点获弗兰克—赫兹实验支持(原子和电子的碰撞失去的能量有分立的数值)。定态跃迁发射高频光子需要吸收较多的能量，这就是为什么炼钢时，随着钢温度升高，颜色从暗红—*—白—蓝变化[2]。
另一位支持普朗克量子假说的是爱因斯坦，他进一步认为：不但发射和吸收光是量子化的，光的能量在空间也不是连续分布的，而是由空间各点的不可再分割的能量子组成。并在年，提出了光电效应的光量子解释，人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质[3]。年，法国物理学家德布罗意提出“物质波”假说，认为和光一样，一切物质都具有波粒二象性。根据这一假说，电子也会具有干涉和衍射等波动现象，这被后来的电子衍射试验所证实[4]。事有凑巧，中国古代文学作品里恰有佳句能区分光的经典描述和量子描述，如唐代张若虚写的《春江花月夜》中的两句：“空里流霜不觉飞”，文人将它译为：月色如霜所以霜飞无从觉察。物理人觉得这是光的经典描述。此刻我们考量“飞”，无需把它们看作是光子；而对于“月照花林皆似霰”，文人将其译为月光照射着开遍鲜花的树林好像细密的雪珠在闪烁。物理人觉得这是光的量子描述，即光子。
波粒二象性可以由电子在晶体上的衍射得以验证，可是又带来新问题：诡异的电子双缝干涉实验结果表明，如果仅仅放了一个观测电子轨迹的设备，等电子发射完之后再去看，看到的是干涉条纹；不管你如何挖空心思，在发射的同时观察，只要你想了解粒子的径迹，干涉图样就看不到。是天机不可泄露吗？
图1从左往右依次：普朗克、玻尔、爱因斯坦、德布罗意、玻恩、薛定谔、海森伯、狄拉克爱因斯坦写道：“如果月亮在其环绕地球运行的永恒运动中被赋予自我意识，它就会完全相信，它是按照自己的决定在其轨道上一直运行下去。这样，会有一个具有更高的洞察力和更完备智力的存在物，注视着人和人的所作所为，嘲笑人以为他按照自己的自由意志而行动的错觉。”可见，爱因斯坦认为注视者是不可或缺的。
玻尔电子轨道的“软肋”是电子在圆轨道上运行要辐射能量而“跌落”，为了克服此困难，分别产生了海森伯矩阵力学[5]和薛定谔波动力学[6]。
在海森伯眼里，不存在电子轨道，可观测量是光的跃迁频率和谱线强度。在波—粒子两象性的启发下，海森伯将原子外层电子的运动比拟为一个振子，其周期运动有一定的频率，振子坐标q(t)由两个指标(α,n)的符号替换，即用傅里叶变换给出辐射的信息，鉴于光谱线的确定总是联系着双重频率，可以排成一个表，表中的每一个元素都有两个指标。而相应的动力学量，如电子的坐标q，动量p，也应该写成表格的形式。但这样一来，动量p就不再是普通数了，不再满足qp=pq。如此做来，不仅描写电子运动的偶极振幅的傅里叶分量的绝对值平方决定相应幅射的强度(谱线强度)，而且振幅本身的位相也是有观察意义的。海森伯再运用玻尔的对应原理，用定态能量差决定的跃迁频率来改写经典理论中电矩的傅里叶展开式，把玻尔量子化条件改写为q(n,α)与p(n,α)的对易关系，在此基础上海森伯计算出了频率和振幅的二维数集，即谱线的正确频率和相对强度值，符合实验测定的一大堆光谱值。
海森伯着眼于和光谱线联系的直接可观测的频率与振幅来探讨原子内部电子运动的力学量表示，从而找到了能解释原子光谱、确定原子稳态的量子条件，接下来的问题是怎样确定什么是可观察的、而什么又不是的呢？海森伯的同伴泡利说：“轨道不可观测这个论断是不对的。月球的轨道是可以观测的，所以海森伯的理论中少告诉了我们一些东西，它应该告诉我们什么是可观测的，而什么又不是。”
另一方面，海森伯的结果依赖于计算中的乘法不可对易，这令海森伯好生奇怪，当时他还不知道这就是矩阵运算，于是他把论文拿给著名物理学家玻恩，请教有没有发表价值。玻恩一眼就认出海森伯用来表示观察量的二维数集正是线性代数中的矩阵，量子力学于是出现了矩阵，也就是算符，一般而言，它们不可交换。玻恩将海森伯的量子化条件抽象为关于坐标和动量的不可交换：
这是量子化的标准形式。在玻恩去世后，他的墓碑(哥廷根城市公墓)上就刻了这个式子，但玻恩并没有和海森伯分享年的诺贝尔物理学奖，而是在年因给与波函数以几率假设才获奖。
正是玻恩慧眼认识到了海森伯的工作有重要意义，并和约当一起加以发扬，才使得海森伯最终成为量子力学创始人之一。海森伯应该感谢玻恩的知遇之恩。从此以后，海森伯的新理论就叫“矩阵力学”，它