学好数理化，走遍天下都不怕。书接上回，今天继续为大家推送那份传说中的《数学物理清单》中关于新三样：拓扑学,近世代数,实分析与泛函分析等方面的内容。
1.7《实变函数论与泛函分析》这是数学系的学生学到的第一门完全属于二十世纪的课程.这门课程的重要性是不言而谕的.对于这门课程在中国的发展,许多和复旦有密切关系的前辈都做出过重要贡献.在复旦开实分析课的第一人毫无疑问是陈建功先生(-).作为中国现代数学的先驱者,他在-年间三赴日本学习现代数学,是在日本获得理学博士学位的第一个外国学者.此后他回到浙大,和31年回国的苏先生一起为中国现代数学的发展做出了极其重要的贡献.即便是在抗战最困难的时期,他们也没有放弃学术研究.李约瑟当时称赞西南联大和浙大是东方的Oxford和Cambridge,陈先生在浙大的大弟子程民德先生说到这一光辉的称号,可以说是用难以数计的微弱的桐油灯光所照亮的.程先生为陈建功先生在
1.中国现代数学家传(第二卷)
里面做了一篇传记,不可不读.
陈先生在浙大担负着极重的教学任务,在五十年代他把历年使用的讲义遍成书出版,这就是
2.陈建功实函数论
今天看来,这里面的内容是相当古典的,但是其中很多东西的讲法到今天还是很好的.陈先生门下弟子无数,早期(20年代)的学生包括中国现代数学的另两位重要人物王福春先生和曾炯之先生.后来从浙大到复旦,我们可以列出一串长长的名单:程民德,叶彦谦,秦元勋,张鸣镛,夏道行,龚升,李训经...前校长杨福家先生在某次会上说过复旦人不会忘记,五十年代,复旦造了两幢小楼,一幢是给陈建功先生的,一幢是给苏步青先生的,正是他们使复旦的数学变了样....那两幢房子现在还在第九宿舍里面.一幢苏先生家人还住着.另外的那幢在陈先生58年搬去杭州以后就空着,据说曾有某位今天在复旦也是大名鼎鼎的人物搬进去过,但不久就因为实在摆不平又搬了出来--陈先生和苏先生的地位可见一斑.今天在数学系里还能找到陈先生的一些遗迹,比如那套Gauss全集就是陈先生出让给浙大图书馆的(见内页题字)
现在用的课本是
3.夏道行,严绍宗,吴卓人,舒五昌实变函数论与泛函分析第二版,上,下册
这是,在我看来,复旦为中国的数学事业贡献的最重要的课本.从年第一版出版开始,这就是中国最标准的实变与泛函课本.受益于此书的学生不可计数.夏先生是陈先生五十年代初的研究生.当年陈先生开实分析课的时候夏先生做助教,也是跟班从头听到底(和今天CS的TA的要求差不多,不是吗?*_^)夏先生50年代中期赴苏联进修,师从I.M.Gelfand.那是泛函分析还处于发展的初期,Gelfand又是这个领域的泰山北斗.所以夏先生不仅在苏联的两年间做出了相当好的工作,而且回国后在复旦建立了一个相当强的泛函研究小组.具体可以看
4.杨乐,李忠编中国数学会六十年
里面严绍宗先生和李炳仁先生写的文章.六十年代初,夏先生就已经是现代数学丛书的编委了,那时候他才30出头一点.今天的中国数学界,没有一个这个年龄的数学家有夏先生当年的学术地位!夏先生做单复变和概率的功夫也是非常深的.在80年当选学部委员的时候,他的专业就写的是这三样.我们一章一章来看:第一章集和直线上的点集这是很美妙的东西,数学系的学生从这里开始严肃地接受关于无限的教育.具体的问题是教师一般都要在这一章上面花不少时间,部分是因为这些搞脑子的东西学生以前根本没有接触过.我想今后可能的话应该在第一二年的课程里面讲一些这一章的内容,像实数理论和极限论,等价关系,直线上的开,闭集,等等.这样一是可以省下很多时间,其次的确你翻翻许多数学分析的书也能看到这些内容.大概一定要留到这里来讲的包括Zorn引理,在
5.E.Hewitt,K.StrombergRealandAbstractAnalysis(GTM25)
里面有相当清晰简洁的关于选择公理及其等价命题的叙述.那里写到Theaxiomofchoicedoesnotperhapsplayacentralroleinanalysis,butwhenitisneeded,itisneededmosturgently.这是很有道理的.这个方向上扩展出去可以看
6.那汤松实变函数论
在下册里面还有关于超限归纳法的描述.这本书是徐瑞云先生翻译的.据说当年陈建功先生对他的这位女弟子的译作赞不绝口.徐先生不幸于文革中自杀身亡.另外,对于很多具体的点集的例子,有许多书可以参考,比如
7.汪林实分析中的反例
这是本非常非常好的书,在以后的几章里面我们也都要引用这本书.作者是程民德先生的弟子.要记住的是,这不仅仅是一本讲例子的书!理图里有.和一些习题集和解答,比如8.实变函数论习题解答
这是那汤松的书的习题解答.质量一般,不过好歹是本习题解答吧.
9.实变函数论的定理与习题
记不清是谁写的了,应该是某个苏联人.里面有详细的解答,质量相当高.第二章测度这是这本书上册的核心.测度在这里的讲法,从环上的测度讲到测度的扩展,基本上属于
10.P.R.HalmosMeasureTheory(GTM18)
(中译本:测度论)的框架里面.这本书实在不敢评论,自己看吧!这本书里面还有一些精选的习题,有胆子和时间的话值得一做.集环的理论一本相当有趣的书可以看看,就是
11.J.OxtobyMeasureandCategory(GTM2)
这里的category不是指代数里面的范畴,而是集合的纲,讲了很多有趣的东西.现在可以来谈谈
12.周民强实变函数(第二版)
这本书写得不错,总的说来最大的好处恐怕就是习题很多,而且都是能做的习题--复旦的课本里面的习题初学好象是难了点,特别是在没有答案的情况下:)还有一本很好的书,可惜至今只打过几个照面,但是可以肯定的是绝对是好书:
13.程民德,邓东皋实分析
我见过这书里面的一个测度的题目还是很有趣的,还难住过我们的一个老师哦!此外,上一章里面的参考书都可以搬过来.需要注意的一点是,有些书是纯讲Lebesgue积分的,比如6.12.等,有些细节上注意一下L与L-S的差别还是有用的.第三章这就是真正的实分析了.这里面应该说每一节都是重要的.在全面引用上两章的参考书的同时,还可以考虑下面的:
14.I.E.Segal,R.A.KunzeIntegralsandOperators
15.A.N.Kolmogorov,S.V.Fomin函数论与泛函分析初步
这些作者应该说都是相当好的数学家了.比较遗憾的是一般由于课时安排等种种原因,最后三节都不能好好讲.其实这些都是很有趣的东西.广义测度和R-N定理更是非掌握不可的.最后问个小问题:L^1(R)是R上全体可积函数全体构成的空间这句话对吗?在直线(或者更一般的局部紧群上),是有可能先建立积分理论再导出测度的.比如下面将要讲到的
16.夏道行,严绍宗,舒五昌,童裕孙泛函分析第二教程
里面就有一些这方面的内容.此外还有像
17.夏道行,严绍宗实变函数与泛函分析概要
(上海科技出的那套教材里面的一本,理图里面有)好象就是按照先积分再测度的办法讲的.另外用这一体系的书好象还有
18.F.Riesz,B.Sz.-Nagy泛函分析讲义(Leconsdanalysefonctionnelle)
这也是不错的书.对测度感兴趣的话,还可以看一些动力系统里面讲遍历理论(ergodictheory)的书,那是真正的测度论(J.M.Bony).第四章从这里开始算泛函分析的课了.不过这一章是不是一定要以这样的篇幅在这里讲值得讨论.其实很多度量空间的概念在数学分析课里面就可以解决掉,在这里应该只要强调有限维和无限维的差别就可以了.上面的许多参考书在这里一样可以用,还应该加上的是:
19.汪林泛函分析中的反例
第十节一般不讲,不过这东西实在是基本,整个泛函的体系都可以建立在上面,理图里面有一本
20.夏道行,杨亚立拓扑线性空间
不过那书基本上是第二作者写的,所以建议有兴趣的话还是看下面几本
21.N.BourbakiTopologicalVectorSpace
Chpt.1-5布尔巴基写书是一章一章出的,这书能一次就包含五章,实属罕见.而且估计今后也不会有后续的内容了.GTM里面也有两本是讲拓扑线性空间这个题目的:
22.H.H.SchaeferTopological[VectorSpaces](GTM3)
23.J.L.Kelley,I..Namioka[LinearTopologicalSpaces](GTM36)
里面有一章也是讲这东西的.其它许多以泛函分析为标题的书也是以此为出发点的,比如
24.S.K.BerberianlecturesinFunctionalAnalysisandOperatorTheory(GTM15)
Berberian也是很好的数学家,他翻译的Connes的Non